Question

x+y+z=5，xy+yz+xz=3，z的最大值是多少

Answer 1

四又三分之一。

x+y+z=5 →y=5-x-z 代入：

xy+yz+xz=3→(x+z)(5-x-z)+zx=3

5(z+x)-(z+x)²+zx=3

两边对x求导：

5(z'+1)-2(z+x)(z'+1)+z+xz'=0

z'(5-2z-x)+5-z-2x=0

z'=(z+2x-5)/(5-2z-x)

z'=0→z=5-2x→y=5-x-(5-2x)=x

驻点(⅓,⅓,4⅓)、(3,3,-1)

即z的最大值是4⅓，最小值是-1。

最大值，即为已知的数据中的最大的一个值，在数学中，常常会求函数的最大值，一般求解方法有换元法、判别式求法、函数单调性求法、数形结合法和求导方法。

方法

判别式求最值

主要适用于可化为关于自变量的二次方程的函数。

函数单调性

先判定函数在给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。

数形结合

主要适用于几何图形较为明确的函数，通过几何模型，寻找函数最值。

Answer 2

∵x+y+z=5 ∴x+y=5-z ①
∵xy+yz+xz=3,即xy+z(x+y)=3
∴xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z²-5z+3 ②
由①②式,得：x、y是方程t²-(5-z)t+z²-5z+3=0的另个实数根
则：△=(5-z)²-4(z²-5z+3)=-3z²+10z+13≥0
即：3z²-10z-13≤0,(3z-13)(z+1)≤0
∴-1≤z≤13/3
即z的最大值为13/3,最小值为-1

Answer 3

由x+y+z=5得：y=5-x-z
代入xy+yz+xz=3
x（5-x-z）+z（5-x-z）+xz=3
5x-x²-xz+5z-xz-z²+xz=3
x²-5x+xz+z²-5z+3=0
Δ=（z-5）²;-4（z²-5z-3）≥0
z²-10z+25-4z²+20z-10≥0
3z²-10z-13≤0
（z+1）（3z-13）≤0
∴z+1≥0,3z-13≤0
得-1≤z≤13/3.
最大值Zmax=13/3.

Answer 4

(x+y+z)^2
=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)x^2+y^2+z^2
=25-6
=19x+y
=5-zx^2+y^2
=19-z^2(x+y)^2<=2(x^2+y^2)
(5-z)^2<=38-2z^23z^2-10z-13<=0
-1<=z<=13/3