Question

设a1,a2,...,an都是正数,证明不等式(a1+a2+...+an)[1/(a1)+1/(a2)+...+1/(an)]>=n^2

Answer 1

用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2
证明:
当n=1时,a1*(1/a1)=1>=1^2 成立.
假设当n=k时,命题成立.
即: (a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)>=k^2
则 n=k+1时,
(a1+a2+...+ak+a<k+1>)*(1/a1+1/a2+...1/ak+1/a<k+1>)
=(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)+a<k+1>*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a<k+1>*(a1+a2+...+ak) +1
>=k^2+a<k+1>*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a<k+1>*(a1+a2+...+ak) +1 {由n=k时的结论}
>=k^2+2*根号[a<k+1>*(1/a1+1/a2+...1/ak)*1/a<k+1>*(a1+a2+...+ak)]+1 {算术平均数不小于几何平均数}
=k^2+2*根号[(1/a1+1/a2+...1/ak)*(a1+a2+...+ak)]+1 {由n=k时的结论}

>=k^2+2*k+1
=(k+1)^2
因此当n=k+1时,命题成立.
命题得证.

Answer 2

当n=1时,显然成立,
假设当n时成立,对于n+1时候,
记u=（a1+a2..an+a_{n+1})/(n+1)(a_{n+1}的n+1是下标)

我们要证明的是u^{n+1}>=a1a2...a_na_{n+1},(1)
因为u是这n+1个数的平均数,所以必定存在某个i,j，使得a_i=<u=<a_j，为方便起见,设a_{n+1}=<u=<a_n

从而nu=a_1+a_2+...+(a_n+a_{n+1}-u).并设x=a_n+a_{n+1}-u>0
从而由归纳假设得到,
u^{n+1}=u*u^n>=a_1a_2...a_{n-1}xu,
而xu-a_na_{n+1}=(a_n+a_{n+1}-u)u-a_na_{n+1}=(a_n-u)(u-a_{n+1})>=0
从而得到了(1)式。

当然Cauchy还有个向前向后归纳法更优美。