Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的右焦点F作直线y=-b/ax的垂线

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的右焦点F作直线y=-b/ax的垂线已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的右焦点F作直线y=-b/ax的垂线，垂足为A，交双曲线左支于点B，若FB=2FA，则该双曲线的离心率为？

Answer 1

本题主要是考察双曲线与直线关系，通过恒等变换换的方法，得出离心率
本题是作y=-b/ax，其实作y=bx/a也是一样的，是对称的
设∠AOF=a，tana=b/a，sina=b/c，cosa=a/c，过点A作AD⊥x轴，那么∠DAF=a，
sina=AF/OF=b/c，AF=b，OA=a，A点（a²/c，ab/c）（解三角形过程略）
设点B（x0，y0,）又因为FB=2FA，即A为FB中点，所以x0=2a²/c-c，y0=2ab/c
带入双曲线得：
（2a²/c-c）²/a²-（2ab/c)²/b²=1，解得c²=5a²，e=根号5