Question

这个题哪个大神能给解决一下啊？

Answer 1

解：
首先代入已知条件得到：
f(m) = ln(m) + a/m = 3
f(n) = ln(n) + a/n = 3
将两式相减，消去a，得到：
ln(m/n) = (n-m) / mn
因为m和n都是正数且不相等，所以m/n不等于1，因此可以将上式两边同时取e的幂次方，得到：
m/n = e^((n-m) / mn)
令t = n - m，那么上式可以改写成：
m/n = e^(t/n(n-t))
此时我们要使用对数函数的性质，将式子变形为：
ln(m/n) = (t/n)ln(e^(1 - t/n))
因为t > 0，所以1 - t/n < 1，因此e^(1 - t/n) < e，所以ln(e^(1 - t/n)) < 1，得到：
ln(m/n) < t/n
将t代入，得到：
ln(m/n) < (n-m)/n
同理，从f(n) - f(m)可以得到：
ln(n/m) < (m-n)/m
将上面两式相加，得到：
ln(m/n) + ln(n/m) < (n-m)/n + (m-n)/m
化简，得到：
2ln(m/n) < 2(mn/(n-m) - 1)
化简，得到：
ln(m/n) < (mn/(n-m) - 1)
即：
mn/(n-m) > e^(ln(m/n) + 1)
将右边的指数拆开，得到：
mn/(n-m) > e * e^(ln(m/n))
即：
mn/(n-m) > e^(1) * (m/n)
即：
mn > n * m/e
即：
e * mn > m * n
所以：
a^2 < m * n < e^2 * a^2
代入已知条件 f(m) = f(n) = 3，得到：
ln(m) + a/m = 3
ln(n) + a/n = 3
将两式相减，得到：
a/n - a/m = ln(m/n)
整理，得到：
a = m * n * ln(m/n) / (n - m)
因为m和n是正数且不相等，所以m/n不等于1，因此ln(m/n)不等于0。又因为m和n都是正数，所以a的取值范围为实数集合R。结合上面的结论，可以得到：
a^2 < mn < e^2 * a^2
即：
m * n < e^2 * a^2
因此，证毕。