Question

求解下列问题

Answer 1

(1). 求微分方程dy/dx=3x²(1+y²)的通解

解：分离变量得：dy/(1+y²)=3x²dx；

积分之得：arctany=x³+C；故通解为：y=tan(x³+C)；

(2).求微分方程 y'+y=x满足初始条件y(0)=0的特解

解：先求齐次方程y'+y=0的通解：分离变量得 dy/y=-dx；积分之得lny=-x+lnC₁;

故齐次方程的通解为：y=C₁e^(-x)；将C₁换成x的函数u，得y=ue^(-x)..............①

对①取导数得：y'=u'e^(-x)-ye^(-x)...........②

将①②代入原方程并化简得：u'e^(-x)=x；即du/dx=xe^x；

故u=∫xe^xdx=∫xd(e^x)=xe^x+∫(e^x)dx=xe^x+e^x+C=(x+1)e^x+C;

代入①式即得原方程的通解为：y=[(x+1)e^x+C]e^(-x)=x+1+Ce^(-x);

代入初始条件y(0)=0，得C=-1;故满足初始条件的特解为：y=x+1-e^(-x);

(3).充要条件是：∂P/∂y=∂Q/∂x.

(4).微分方程dx/dt=a(t)x+b(t)的通解：