Question

判断证明f（x）=x3+x-3在（0，+∞)上的单调性.

Answer 1

f(x)=x³+x-3
f'(x)=3x²+1>0
所以f(x)在R上是增函数
所以在（0，+∞)上为增函数

令0<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=x1³+x1-x2³-x2
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²+1)
x1-x2<0 ;
x1²+x1x2+x2²+1>0
所以f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
所以f(x)为增函数

Answer 2

方法一：直接求导

f’（x）=3x²+1＞0，所以函数单调递增

方法二：假设0＜x1＜x2，那么

f（x1）-f（x2）=x1³+x1-x2³-x2
=（x1-x2）（x1²+x1x2+x2²）+（x1-x2）
=（x1-x2）（x1²+x1x2+x2²+1）＜0

所以函数单调递增