Question

已知函数f(x)=x/x-1,x∈【2，5】

（1）判断该函数在区间【2，5】上的单调性，并给予证明。
（2）求该函数在区间【2，5】上的最大值与最小值

Answer 1

f(x)=x/(x-1),x∈【2，5】
f(x)=x/(x-1)=(x-1+1)/(x-1)=1+1/(x-1)
x∈【2，5】时,(x-1)单调递增，1/(x-1)单调递减，所以：
f(x)=1+1/(x-1)单调递减
证明,令△x＞0
f(x+△x)-f(x)=1+1/(x+△x-1)-[1+1/(x-1)]
=1/(x+△x-1)-1/(x-1)
=(x-1)-(x+△x-1)]/[(x+△x-1)(x-1)]
=-△x/[(x+△x-1)(x-1)]
2≤x≤5,△x＞0所以(x+△x-1)大于1，(x-1)≥1，所以：
f(x+△x)-f(x)=-△x/[(x+△x-1)(x-1)]＜0,得证

由于函数单调递减,所以当x=2和x=5时分别取最大值和最小值：
最大值：f(2)=2/(2-1)=2
最小值：f(5)=5/（5-1）=1.25

Answer 2

f(x)=1 + 1/(x-1)
所以，在[2，5]之间，f(x)单调下降，
最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=5/4

Answer 3

1) f(x)=(x-1)+1 / (x-1)=1+1/x-1
应1/x在0到无限大为单调递减，而1/x-1则在1到无穷大单调递减，所以1）得证

2）f(x)min=f(x)5=5/4
f(x)max=f(x)2=2