Question

高一数学函数题，急需解答！谢了各位！

已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,＋∞).
(1):当a=1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2):若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围。
y=f(x)=(x^2+2x+a)/x

Answer 1

解：

f(x)=(x²+2x+a)/x

=x+(a/x)+2

x∈[1,＋∞).

(1)当a=1/2时,f(x)=x+1/(2x)+2

此函数是对钩函数，在(0,√2/2]递减，在[√2/2，+∞)递增，

∵x∈[1,＋∞).

∴f(x)min=f(1)=1+1/2+2=7/2

(2)对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立，则

f(x)=(x²+2x+a)/x

=x+(a/x)+2

分类讨论：

若a＞0，则对任意x∈[1,＋∞).x+a/x＞0，所以f(x)＞0恒成立

若a=0，则f(x)=x+2，对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立

若a＜0，则x和a/x在区间[1,+∞)同为增函数，即f(x)是增函数，此时只要f(1)=1+a+2＞0，即a＞-3，即可使得f(x)>0恒成立

综上所述，a的取值范围是(-3,+∞)

Answer 2

解：由原式得：f(x)=x+a/x+2,易知此函数在a>0时，[√a，+∞]上递增，（0，√a]上递减
因为x∈[1，+∞），所以f（x）在[1，+∞）上递增
a=1/2时，最小值y=f(1)=3+a

1.a>0
最小值y=f（√a）=2√a+2>0
所以a>0时x∈[1，+∞）,f(x)>0恒成立
2.a<0
对f(x)求导得，y=1-a/x^2,x∈[1，+∞）,y>0
所以x∈[1，+∞）,f(x)递增
最小值f(a)=3+a>0,a<-3
3.
若a=0，则f(x)=x+2，对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立

所以啊a<-3或a≥0

注：你上面的y=f(x)=x^2+2x+a/x 应为
y=f(x)=（x^2+2x+a）x 吧

Answer 3

1. 当a=1/2时，f(x)=x^2+2x+a/x, x∈[1,＋∞).
原式=(x+1)^2-1+a/x, x∈[1,＋∞).
所以当x=-1时,f(x)有最小值f(-1)=-1+a/x

2. 函数不变,所以对称轴是x=-1
在x∈[1,＋∞)区间上,函数f(x)是单调递增的
所以最小值是f(1)=3+a
因为f(x)>0恒成立,所以3+a>0，所以a>-3

Answer 4

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