Question

(sinx-1)/(cosx-2)的最大值与最小值是多少？

Answer 1

令（sinx－1）/（cosx－2）＝y，得：sinx－1＝ycosx－2y，
∴sinx－ycosx＝1－2y，
∴［1/√（1＋y^2）］sinx－［y/√（1＋y^2）］cosx＝（1－2y）/√（1＋y^2）。
引入辅助角u，使cosu＝1/√（1＋y^2）、sinu＝y/√（1＋y^2），得：
sinxcosu－cosxsinu＝（1－2y）/√（1＋y^2），
∴sin（x－u）＝（1－2y）/√（1＋y^2）。
显然有：｜sin（x－u）｜≦1，∴｜（1－2y）/√（1＋y^2）｜≦1，
∴｜1－2y｜≦√（1＋y^2），∴1－4y＋4y^2≦1＋y^2，∴y（y－4/3）≦0，
∴0≦y≦4/3。
∴（sinx－1）/（cosx－2）的最小值为0，最大值为4/3。

Answer 2

令(sinx-1)/(cosx-2)=k
sinx-kcosx=1-2k
√(1+k²)sin(x-θ)=1-2k，(其中，tanθ=k)
sin(x-θ)=(1-2k)/√(1+k²)
-1≤sin(x-θ)≤1，sin²(x-θ)≤1
[(1-2k)/√(1+k²)]²≤1
3k²-4k≤0
k(3k-4)≤0
0≤k≤4/3
(sinx-1)/(cosx-2)的最大值是4/3，最小值是0。

Answer 3

斜率形式，（cosx，sinx）和（2,1）连线的斜率，坐标系上画图即可。
ymax=4/3
ymin=0

追答