Question

2x-3y=8;5y-7x=5用6种方法解方程组？

Answer 1

方法一：代入法
将2x-3y=8中的x用5y-7x=5表示，得到x=(5y-5)/7，将其代入2x-3y=8中，得到：
2((5y-5)/7)-3y=8
化简得到：
10y-10-21y=56
解得y=-2，再带回到其中一个方程中，得到x=1。
因此，方程组的解为{x=1,y=-2}。
方法二：消元法
将两个方程相加，消去x，得到：
(-3+5)y=8+5
化简得到：
2y=13
解得y=6.5，再带回到其中一个方程中，得到x=-1.5。
因此，方程组的解为{x=-1.5,y=6.5}。
方法三：矩阵法
将方程组写成矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix} 2 & -3 \ -7 & 5 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \ 5 \end{bmatrix}
$$
求出系数矩阵的逆矩阵：
$$
\begin{bmatrix} 2 & -3 \ -7 & 5 \end{bmatrix}^{-1}=
\frac{1}{29}\begin{bmatrix} 5 & 3 \ 7 & 2 \end{bmatrix}
$$
左乘逆矩阵，得到：
$$
\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \ -2 \end{bmatrix}
$$
因此，方程组的解为{x=1,y=-2}。
方法四：高斯消元法
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix} 2 & -3 & 8 \ -7 & 5 & 5 \end{bmatrix}
$$
进行高斯消元变换，得到：
$$
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}
$$
因此，方程组的解为{x=1,y=-2}。
方法五：克莱姆法则
将方程组写成矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix} 2 & -3 \ -7 & 5 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \ 5 \end{bmatrix}
$$
计算系数矩阵的行列式和各个未知数对应的行列式，得到：
$$
\Delta=\begin{vmatrix} 2 & -3 \ -7 & 5 \end{vmatrix}=29,\quad \Delta_x=\begin{vmatrix} 8 & -3 \ 5 & 5 \end{vmatrix}=49,\quad \Delta_y=\begin{vmatrix} 2 & 8 \ -7 & 5 \end{vmatrix}=-29
$$
因此，方程组的解为{x=49/29,y=-29/29}，即{x=1,y=-1}。
方法六：拉普拉斯展开法
以方程组的第一个方程为例，将其转化为：
$$
x=\frac{8+3y}{2}
$$
将其代入第二个方程，得到：
$$
5y-7(\frac{8+3y}{2})=5
$$
解得：
$$
y=-2
$$
再代回第一个方程，得到：
$$
x=1
$$
因此，方程组的解为{x=1,y=-2}。