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判断并证明函数F(X)=X+4/X在(-无穷,0)上的单调性
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在(-无穷,-2]上单调递增,在[-2,0)上单调递减。
设x2<x1;则有:
F(x1)-F(x2)=x1+4/x1-x2-4/x2=(x1-x2)*(x1*x2-4)/x1*x2;
因为x1-x2>0,x1*x2>0;
所以,当x属于(-无穷,-2]上时,x1*x2-4>0,F(x)单调递增;
当x属于[-2,0)上时,x1*x2-4<0,F(x)单调递减。
设x2<x1;则有:
F(x1)-F(x2)=x1+4/x1-x2-4/x2=(x1-x2)*(x1*x2-4)/x1*x2;
因为x1-x2>0,x1*x2>0;
所以,当x属于(-无穷,-2]上时,x1*x2-4>0,F(x)单调递增;
当x属于[-2,0)上时,x1*x2-4<0,F(x)单调递减。
2010-09-26 · 知道合伙人教育行家
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F'(X)=1-4/X^2
F''(X)=8/X^3
在(-∞穷,0),当X=-2时,F'(X)=0,F(X)存在极值F(-2)=1-4/(-2)^2=0
由于F''(-2)=8/(-2)^3=-1<0,所以该极值是极大值
所以单调区间为:
(-∞,-2),单调增;
(-2,0),单调减
F''(X)=8/X^3
在(-∞穷,0),当X=-2时,F'(X)=0,F(X)存在极值F(-2)=1-4/(-2)^2=0
由于F''(-2)=8/(-2)^3=-1<0,所以该极值是极大值
所以单调区间为:
(-∞,-2),单调增;
(-2,0),单调减
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设0>x1 > x2>-2,那么:
f(x1)-f(x2)
=x1+4/x1 - (x2 + 4/x2)
=(x1-x2)+(4/x1-4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/x1*x2
=(x1-x2)(1-4/x1*x2)
因为x1-x2>0
而0<x1x2<4,即1/x1x2>1/4,1-4/x1*x2<0
所以,在(-2,0)上f(x1)-f(x2)是恒小于0的,
所以原函数在此区间为单调递减;
同理,在(-∞,-2)上单调递增
f(x1)-f(x2)
=x1+4/x1 - (x2 + 4/x2)
=(x1-x2)+(4/x1-4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/x1*x2
=(x1-x2)(1-4/x1*x2)
因为x1-x2>0
而0<x1x2<4,即1/x1x2>1/4,1-4/x1*x2<0
所以,在(-2,0)上f(x1)-f(x2)是恒小于0的,
所以原函数在此区间为单调递减;
同理,在(-∞,-2)上单调递增
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dF(x)/dx=1-4/X^2
因此
x在(-inf,-2)时,dF(x)>0, F(x)单调递增;
x在(-2,0)时,dF(x)<0, F(x)单调递减。
因此
x在(-inf,-2)时,dF(x)>0, F(x)单调递增;
x在(-2,0)时,dF(x)<0, F(x)单调递减。
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