Question

怎么证明n次的根号下n的极限等于1？

我是大一的 希望能用简单的方法解决 极限初步的知识

Answer 1

求证：lim(n->∞) n^(1/n) = 1

证明：
令：t = n^(1/n) - 1 > 0 , 则：
n=(1+t)^n=1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n > n(n+1)t^2/2
∴ t^2 < 2/(n+1)

因此：
0 < t = n^(1/n) - 1 < √[2/(n+1)]

∵ lim(n->∞) √[2/(n+1)] = 0
∴ 由夹逼定理：lim(n->∞) [ n^(1/n) - 1 ] = 0

∴ lim(n->∞) n^(1/n) = 1

Answer 2

详细证明见下图，店家放大，再点击再放大。

Answer 3

取ln
lnn/n,罗必达 =1/n=0
n次的根号下n的极限等于1

Answer 4

lg(n)^(1/n)
=lgn/n
(lgn/n)'=1/n，当n趋向于无穷大时，lgn/n趋向于0.
n^(1/n)趋向于1.