Question

求下列级数的收敛域

Answer 1

解：分享一种解法。原式=∑(1/n)x^n+∑(n/2^n)x^n。
对∑(1/n)x^n，ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1，即其收敛区间为，-1<x<1。而，x=1时，∑1/n是p=1的p-级数，发散、x=-1时，∑(-1)^n/n是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，收敛。∴其收敛域为，{x丨-1≤x<1}。
同理，对级数∑(n/2^n)x^n，有其收敛域为，{x丨-2<x<2}。要原级数收敛，则须取其收敛域的公共部分，∴{x丨-1≤x<1}∩{x丨-2<x<2}={x丨-1≤x<1}。
∴原级数的收敛域为，{x丨-1≤x<1}。
供参考。