Question

1、设f（x）在R上是奇函数，f（x）在（0，正无穷大）上是增函数，且f（a²）+f(a－2)＜0,求a的取值范

2、f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意X1、X2属于D ,有f（X1X2）=f（X1）+f（X2)
(1)求f（1）
（2）分析f（x）的奇偶性并给予证明
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，正无穷大）上时增函数，求x的取值范围≤

快速、今天就要

Answer 1

解：
1.
奇函数在R上具有唯一的单调性，即在R上单调递增或单调递减(奇函数性质)，又f（x）在（0，正无穷大）上是增函数，因此f(x)在R上单调递增。
f(a^2)+f(a-2)<0
f(a^2)-f(2-a)<0
a^2<2-a
a^2+a-2<0
(a+2)(a-1)<0
-2<a<1
a的取值范围为(-2,1)

2.
f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

f(x^2)=f(x)+f(x)=2f(x)
f(x^2)]=f[(-x)(-x)]=f(-x)+f(-x)=2f(-x)
2f(-x)=2f(x)
f(-x)=f(x)
函数为偶函数。

f(64)=f(4*4*4)=f(4)+f(4)+f(4)=3f(4)=3
f(3x+1)+f(2x-6)≤f(64)
f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)
函数在（0，+∞）上是增函数，则函数（-∞,0）上是减函数。且
当(3x+1)(2x-6)≥0时，有(3x+1)(2x-6)≤64
当(3x+1)(2x-6)≤0时，有(3x+1)(2x-6)≥-64

(3x+1)(2x-6)≥0
x≥3或x≤-1/3
(3x+1)(2x-6)≤64
整理，得
3x^2-8x-35≤0
(x-5)(3x+7))≤0
-7/3≤x≤5
3≤x≤5或-7/3≤x≤-1/3

(3x+1)(2x-6)≤0
-1/3≤x≤3
(3x+1)(2x-6)≥-64
整理，得
3x^2-8x+29≥0
方程3x^2-8x+29=0判别式<0，不等式恒成立。
-1/3≤x≤3

综上，-7/3≤x≤5
x的取值范围为[-7/3,5]

Answer 2

1.
f（a²）+f(a－2)＜0
f(a^2)<-f(a-2)=f(2-a)
a^2<2-a
a^2+a-2<0
(a-1)(a+2)<0
-2<a<1

2.
f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=0

f((-1)*(-1))=f(-1)+f(-1)=0
f(-1)=0
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
f(x)为偶函数

f(64)=f(16)+f(4)=3f(4)=3
f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f(64)
f[(3x+1)(2x-6)]<=f(64)
而：f[(3x+1)(2x-6)]=f(-[(3x+1)(2x-6)])
所以：f(|(3x+1)(2x-6)|)<=f(64)
|(3x+1)(2x-6)|<=64
-64<=(3x+1)(2x-6)<=64
3x^2-8x-35<=0
(3x+7)(x-5)<=0
-7/3<=x<=5
或：3x^2-8x+29>=0,对任意x成立

所以：-7/3<=x<=5

Answer 3

第一题有点小问题，我看应该把题目改成f（x）在[0，正无穷大）上是增函数，因为如果这里不用闭区间，那么f(x)可以是分段函数，完全可以让f(x)在（-∞，0]上有很大一段是大于0的，此时就不好往下做了。
如果改成闭区间，则因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，且f（x）在（-∞，0]上也是增函数，此时结合草图可以知道，只需a²+a-2＜0即可，
解得a∈(-2,1)

第二题
(1)因为f（X1X2）=f（X1）+f（X2)
取x1=x2=1得f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
(2)取x1=x2=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)
所以f(-1)=0
因为f(x)定义域D关于原点对称
又对于任意的x∈D，取x1=x,x2=-1得
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以f(x)为D上的偶函数
(3)取x1=x2=4得f(16)=f(4)+f(4)=2
取x1=16，x2=4得f(64)=f(16)+f(4)=3
因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(-∞,0)上是减函数，且f(-64)=3
f（3x+1）+f（2x-6）=f[(3x+1)(2x-6)]≤3=f(64)
所以-64≤[(3x+1)(2x-6)]≤64
解得x∈[-7/3,5]

Answer 4

a为全体实数