Question

不定积分画绿线的这一步为什么是这样的？可以解释下吗 可以写在纸上。感谢！

可以给我解释下吗

Answer 1

不定积分的“画绿线”方法是求解一个定积分的反操作，即求出函数的原函数。这个方法中，绿线通常是指不定积分中的积分常数，而画绿线的目的是为了在解决问题时明确积分常数的位置，避免出现漏解或重解的情况。

具体来说，这个方法的求解过程包括以下步骤：

• 求出函数的导函数，即对函数进行求导。

• 对导函数进行反向积分，即求出函数的原函数，并在原函数中加入积分常数。

• 画一条绿线表示积分常数的位置。

在实际运用中，画绿线的位置通常是在第二步的过程中加入积分常数，并在求得原函数之后明确积分常数的位置。这样做的目的是为了防止遗漏积分常数或者重复计算积分常数。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的导函数为f'(x)=2x。按照不定积分的“画绿线”方法，可以将f'(x)反向积分得到原函数f(x)=(x^3)/3 + C，其中C为积分常数。为了明确积分常数的位置，可以在原函数f(x)中画一条绿线表示积分常数的位置，即f(x)=(x^3)/3 + |C|。这样，即使在后面的计算过程中遗漏了积分常数，也能够及时发现并进行补救。

Answer 2

其实就是只看绝对值内的部分：
就是将t代入下式并化简(t-1)/(t+1)：
为了将表达式 (t - 1) / (t + 1) 用 x 表示，我们可以先将 t = √((x + 1) / x) 代入表达式：
= (√((x + 1) / x) - 1) / (√((x + 1) / x) + 1)
为了消去根号，我们可以在分子和分母中同时乘以 (√((x + 1) / x) + 1) 的共轭，也就是 (√((x + 1) / x) - 1)：
= [ (√((x + 1) / x) - 1)(√((x + 1) / x) - 1) ] / [ (√((x + 1) / x) + 1)(√((x + 1) / x) - 1) ]
= [((x + 1) - 2√((x + 1)(x)) + x) / x] / [((x + 1) - x)]
在分子中，我们可以将分数相加：
= (2x + 1 - 2√(x(x + 1))) / x
在分母中，我们可以将 x + 1 和 -x 相加，得到 1：
= (2x + 1 - 2√(x(x + 1))) / x
这个表达式已经没有 t 了。所以，化简后的结果为：
(t - 1) / (t + 1) = (2x + 1 - 2√(x(x + 1))) / x

Answer 3