Question

矩阵中R（AA^T）=R（A）为什么向量中就是R（aa^T）<=R(a)?

我纠结的不是等号，是小于符号喔，为什么有小于

Answer 1

证明方程AX=0与A^TAX=0同解 AX=0 显然有A^T*AX=0 A^T*AX=0则有X^T*A^T*AX=0 即(AX)^T*AX=0，一个矩阵和它的转置相乘是0，则矩阵是0。则有AX=0 同解说明基相同，基相同说明自由量数相等 n- r（A^T*A）=n-r（A）则r（A^T*A）＝r（A）

追问

额…我想问的是向量中那个小于符号

Answer 2

我是这样子理解的
把向量a理解成矩阵就是n*1的矩阵
矩阵中有 R(AB) <=min(R(A),R(B))
由此推出 R(aa^T）<=R(a)<1

Answer 3

对于齐次方程组
(aa^t)x=0 (1) 与(a^t)x=0(2)
若α是方程（2)的任意解，则由(aa^t)α=a(a^tα）=a0=0
知α是方程（1）的解，因此方程（2）的解集合是方程（1)的解集合的子集合，
又因（1）的解向量的秩为s-r（aa^t），（2）的解向量的秩为s-r（a^t），故有
s-r（a^t）≤s-r（aa^t）→r（aa^t）≤r（a^t）=r（a）