Question

将极坐标转化为先y后x的累次积分

Answer 1

极坐标下，先r后θ的形式更为常见，理解起来也更为容易，先θ后r的形式可以在前一种的基础上用类直角坐标法得出先r后θ：作出积分区域，从原点引射线穿过积分区域，交点为r的上限，

具体如图先θ后r：在前一种的基础上，以θ为横坐标，r为纵坐标作出积分区域，观察积分区域，可以分为A B C D四个部分。需要注意的是θ积分上下限的计算。个人认为，题主给出的答案，在最后一部分，θ的上限似乎有些问题，-arccos(1/4)。

积分域 D 是圆环在第 1 象限部分，内半径 为 1， 外半径为 2，

所以化为极坐标的积分区间是 0 ≤ θ ≤ π/2，   1 ≤ r ≤ 2。

... = (1/2)∫<0, π/2>dθ∫<1, 2>sin(πr)rdr

= (-1/π)(1/2)∫<0, π/2>dθ∫<1, 2>rdcos(πr)

= (-1/π)(1/2)∫<0, π/2>dθ{[rcos(πr)]<1, 2> - ∫<1, 2>cos(πr)dr}

= (-1/π)(1/2)∫<0, π/2>dθ{3 - (1/π)[sin(πr)]<1, 2>}

= (-1/π)(1/2) 3π/2 = - 3/4

扩展资料：

极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点有一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人等领域。

在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

参考资料来源：百度百科-极坐标

Answer 2

如图