Question

设f(x)在[0，1]上有二阶导数，f(0)=f(1)=f(0)=f(1)=0,证明存在ξ∈(0，1)，使得f (ξ)=f(ξ)

Answer 1

【答案】：设F(x)=[f(x)+f'(x)]e^-x，由题设可知F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且
F(0)=F(1),由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0，1)，使F'(ξ)=0，又
F'(ξ)=[f'(x)+f"(x)]e^-x-[f(x)+f'(x)]e^-x=[f"(x)-f(x)]e^-x由于e^-ξ≠0，可知有
f"(ξ)-f(ξ)=0即 f"(ξ)=f(ξ)
说明 如果F(x)=[f(x)-f'(x)]e^x在[0，1]上利用罗尔定理亦可证明所给问题为导数在区间内某点值的问题，可以考虑利用微分中值定理证明，如果取F'(x)=f"(x)-f(x)，由此确定F(x)并不容易,因此可以取非零函数G(x)，及F'(x)=[f"(x)-f(x)]G(x)，使之能较易导出F(x)，满足F'(x)在(0，1)内存在零点,为此用微分中值定理