Question

数列通项公式的求法。

Answer 1

1、用累加法求an=an－1+f（n）型通项

2、用累积法求an= f（n）an－1型通项

3、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项

4、通过Sn求an

5、取倒数转化为等差数列

6、构造函数模型转化为等比数列

7、数学归纳法

普遍的方法举例：

（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an

解：由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1

则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1

=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1

=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1

=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1

=3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n)

（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。

解：由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，记f（n）=2n(1)= an－an－1

则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1

=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1

=2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1)

（3）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an

解：（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）)，记f（n）=n(2（n－1）)

an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1

=n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1)