Question

线代里线性无关和不能被线性表示一样吗？如果不一样，有什么区别或联系？

如：向量a1,a2,a3,b是m维向量。b不能被a1,a2,a3线性表示，是否说明a1,a2,a3,b线性无关呢？
如果b能被表示，又是否说明他们四个线性相关呢？

Answer 1

第一个不能，第二个可以。
首先来看第一个问题：
因为b不能被线性表示，从向量角度来说是b向量不多余，因为它不可以被别的向量表示
从方程角度来说是非齐次方程无解，
从矩阵角度来说是系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩
但这些都只说明b向量与a1a2a3分别无关或者它们之中的部分无关，具体a1a2a3之间的关系无法说明，（我们都知道部分相关，整体相关。整体无关，整体无关）

反之，因为b可以被线性表示，那么b向量多余可以被代替。是非齐次方程有解，系数矩阵增广矩阵的秩相等。
（还是因为部分相关，整体相关。整体无关，整体无关）可以推出一定线性相关。

Answer 2

第一问不行，第二问可以。由图片的定理，线性无关需要所有的向量都不能由其余的线性表示，你说的只有一个向量满足不能由其余的线性表示。所以不行。第二问，只要有一个满足可以由其余的线性表示，整体就线性相关。

Answer 3

线性无关可以推出不能线性表示，反之不可以，理由如下：

Answer 4

不能被线性表示只能说明非齐次方程组AX=b,无解，即不存在X向量；线性无关指的是齐次方程组AX=0存在0解，即X=(k1,k2,k3......kn)T=0向量。
两个区别就在这。联系是线性无关的充分不必要条件是不能被线性表示。
充分性：k0B+k1a1+k2a2+....+knan=0,线性无关则k0=k1=....kn=0,则B不能被其他向量线性表示。

Answer 5

第一个不能，第二个能