Question

求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
＝ (n-1)n(n+1)/3
答案中将1×2换成了1x2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3），这是什么原理？为什么会想到化成这样？

Answer 1

答案错了吧？正确的是n(n+1)(n+2)/3.

至于你问的1×2换成了1x2=（1×2×3-0×1×2)÷3原理当然还是n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3，对应n=1的情形。

n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
这个应该明白吧？

Answer 2

因为(n+2)-(n-1)=3
所以n(n+1)
=3n(n+1)/3
=[(n+2)-(n-1)]n(n+1)/3
=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

然后n=1就是1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3
以后n可以取2，3，4，……

Answer 3

化成 an=n2+n sn=n*(n+1)/2+(n+1)*(2*n+1)*n/6 再合并