Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明存在一点(0,1),使f'(ζ)=1

Answer 1

因为f（x）在[0，3]上连续，所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，故：m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤M，由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使得： f(c)＝f(0)+f(1)+f(2) 3 ＝1，又由：f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，满足罗尔定理的条件，故：必存在ξ∈（c，3）?（0，3），使f′（ξ）=0．

Answer 2

由拉格朗日中值定理，
存在a∈(1/2,1), [f(1/2)-f(1)]/(1/2-1)=f'(a), 即f'(a)=-2 ,

存在b∈(0,1/2), [f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=f'(a), 即f'(b)=2 ;

令φ(x)=f'(x)-1，则φ(a)=f'(a)-1=-3, φ(b)=f'(b)-1=1 ;
则有φ(a)*φ(b)<0，根据零点定理，存在ζ∈(b,a)，使得φ(ζ)=0, 即f'(ζ)-1=0
f'(ζ)=1得证。
ps.这边可能缺少对f'(x)连续性的证明

Answer 3

先用零点定理，

再用罗尔定理，详情如图所示