Question

二重积分对称性求解

请问这个由对称性得是怎么得出来的。。

Answer 1

对于Dxy是关于y轴对称的区域，满足∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-x, y)dxdy。

如果Dxy是关于y=x对称的区域，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y, x)dxdy（所以如果积分函数满足f(y,x)= -f(x,y)，就能得出∫∫f(x,y)dxdy=0）。

如果Dxy是关于y=-x对称，那么∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(-y, -x)dxdy。

扩展资料：

积分轮换对称性特点及规律：

(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0。

(2) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。

参考资料：百度百科——积分轮换对称性

Answer 2

Answer 3

这个积分区域很明显关于x=0对称，所以当积分函数关于x为奇函数时，该积分为零。
同理，若积分区域关于y=0对称，且积分函数关于y是奇函数，则积分为零。

Answer 4

关于计算二重积分J利用对称性的结论是这样的：
1.若积分区域关于y轴对称，则①当被积函数关于x是奇函数时，J＝0；②当被积函数关于x是偶函数时，J等于函数在原区域位于y轴右侧的部分区域上二重积分的2倍。
2.若积分区域关于x轴对称，则只需将所有上述被积函数的奇偶性改成关于y的，结论仍成立。
3.若积分区域关于x轴、y轴都对称，则①当被积函数分别关于x、y都是奇函数时，J＝0；②当被积函数分别关于x、y都是偶函数时，J等于原积分区域位于第一象限的部分区域上二重积分的4倍。
只要记住积分区域关于x、y轴的对称性与被积函数关于x、y的奇偶性正好扭着，记住上述结论并不难：区域关于x轴对称，要求被积函数关于y具有奇偶性；区域关于y轴对称，要求被积函数关于x具有奇偶性。

Answer 5

偶倍奇零 跟据给的区域把相应的部分消去 计算剩下的就行了