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书中的解法是利用“恒等变形+洛必达法则”求解的,太繁了。分享一种“简单”的解法。
∵x→∞时,1/x→0,ln(1+1/x)=1/x-1/(2x²)+O(1/x²),∴ln(1+1/x)~1/x-1/(2x²)。
∴原式=lim(x→∞){e^[xln(1+1/x)-1]}^x=lim(x→∞){e^[-1/(2x)]}^x=e^(-1/2)。
供参考。
∵x→∞时,1/x→0,ln(1+1/x)=1/x-1/(2x²)+O(1/x²),∴ln(1+1/x)~1/x-1/(2x²)。
∴原式=lim(x→∞){e^[xln(1+1/x)-1]}^x=lim(x→∞){e^[-1/(2x)]}^x=e^(-1/2)。
供参考。
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2019-08-23
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lim『x→+∞』((1+1/x)^x /e)^x
= lim『x→+∞』(1+(1+1/x)^x /e -1)^x
= lim『x→+∞』(1+ ((1+1/x)^x-e)/e)^x
= lim『x→+∞』(1+ ((1+1/x)^x-e)/e)^(((1+1/x)^x-e)/e)(1/(((1+1/x)^x-e)/e))x
= lim『x→+∞』e^(((1+1/x)^x-e)/e)x
= lim『x→+∞』e^(((1+1/x)^x-e)x/e)
= e^(lim『x→+∞』((1+1/x)^x-e)/(e/x))
接下来求(1+1/x)^x-e的导数。
((1+1/x)^x-e)'=((1+1/x)^x)'
=(e^(ln(1+1/x)^x))'
=(e^(xln(1+1/x)))'
=(e^(xln(1+1/x)))(ln(1+1/x)-1/x(1+1/x))
=(e^(xln(1+1/x)))(ln(1+1/x)-1/(x+1))
=((1+1/x)^x)(ln(1+1/x)-1/(x+1))
故原式由洛必达法则可得
= e^(lim『x→+∞』((1+1/x)^x-e)/(e/x))
= e^(lim『x→+∞』
(((1+1/x)^x)(ln(1+1/x)-1/(x+1))/(-e/x²))
= e^(lim『x→+∞』(ln(1+1/x)-1/(x+1))/(-1/x²))
= e^(lim『x→+∞』(-1/x²(1+1/x)+1/(x+1)²)/(2/x³))
= e^(lim『x→+∞』(-x²/(x+1)+x³/(x+1)²)/2)
= e^(lim『x→+∞』(-x²(x+1)+x³)/2(x+1)²))
= e^(lim『x→+∞』(-x²)/2(x+1)²))
=e^(-1/2)
=1/√e
= lim『x→+∞』(1+(1+1/x)^x /e -1)^x
= lim『x→+∞』(1+ ((1+1/x)^x-e)/e)^x
= lim『x→+∞』(1+ ((1+1/x)^x-e)/e)^(((1+1/x)^x-e)/e)(1/(((1+1/x)^x-e)/e))x
= lim『x→+∞』e^(((1+1/x)^x-e)/e)x
= lim『x→+∞』e^(((1+1/x)^x-e)x/e)
= e^(lim『x→+∞』((1+1/x)^x-e)/(e/x))
接下来求(1+1/x)^x-e的导数。
((1+1/x)^x-e)'=((1+1/x)^x)'
=(e^(ln(1+1/x)^x))'
=(e^(xln(1+1/x)))'
=(e^(xln(1+1/x)))(ln(1+1/x)-1/x(1+1/x))
=(e^(xln(1+1/x)))(ln(1+1/x)-1/(x+1))
=((1+1/x)^x)(ln(1+1/x)-1/(x+1))
故原式由洛必达法则可得
= e^(lim『x→+∞』((1+1/x)^x-e)/(e/x))
= e^(lim『x→+∞』
(((1+1/x)^x)(ln(1+1/x)-1/(x+1))/(-e/x²))
= e^(lim『x→+∞』(ln(1+1/x)-1/(x+1))/(-1/x²))
= e^(lim『x→+∞』(-1/x²(1+1/x)+1/(x+1)²)/(2/x³))
= e^(lim『x→+∞』(-x²/(x+1)+x³/(x+1)²)/2)
= e^(lim『x→+∞』(-x²(x+1)+x³)/2(x+1)²))
= e^(lim『x→+∞』(-x²)/2(x+1)²))
=e^(-1/2)
=1/√e
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这个不能告诉你,还是用功学习吧,就是给你解出来,有什么意义?自己会谁也拿不走。
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