Question

求下列齐次方程的通解(2y^2 -xy)dx-(x^2 -xy+y^2)dy=0

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

首先判断该齐次方程是否为恰当方程，可以计算：
∂(2y^2 -xy)/∂y = 4y - x
∂(x^2 -xy+y^2)/∂x = 2x - y
因为∂(2y^2 -xy)/∂y ≠ ∂(x^2 -xy+y^2)/∂x，所以该齐次方程不是恰当方程。
接下来使用齐次方程的解法：
令u = y/x，则y = ux，dy = udx + xdu
将y代入原方程得：(2u^2 -u)x^2dx - (x^2u^2 -x^2u + u^2x^2)udx - x^3du = 0
化简后得到：x^2(2u^2 - u - u^2 + u - u^2)dx - x^3du = 0
即：x^2(u^2 - u)dx - x^3du = 0
再令v = u^2 - u，则u = (1±√1+4v)/2
则上式可化为：x^2vd(x/(1±√1+4v)/2) + x^3du = 0
化简得：d(-x/(1±√1+4v)/2) + xdv = 0
对其进行分离变量，得：d(-x/(1±√1+4v)/2)/v = -dx/x
对其两边进行积分，得：ln|x| = ln|v| - ln|1±√1+4v| + C
其中C为常数，化简得：x^2 = C(v^2 - v)/(1±√1+4v)
将v = u^2 - u = (y/x)^2 - y/x代入，得：x^2 = C[(y/x)^2 - y/x]/(1±√1+4[(y/x)^2 - y/x])
综上所述，该齐次方程的通解为：x^2 = C[(y/x)^2 - y/x]/(1±√1+4[(y/x)^2 - y/x])，其中C为常数。