Question

高中数学十一 十二题？

Answer 1

(11) 因为准线是y=-a/4, M(3,2)到准线的距离是2+a/4=4，所以a=8. 于是交点坐标F(0,2), 点P(x,y)在直线x-y=2上，所以P(x,x-2), 于是|PN|=√((x-1)^2+(x-3)^2)=√(2x^2-8x+10), |PF|=√(x^2+(x-4)^2)=√(2x^2-8x+16). 故所求f(x)=(|PN|-1)/|PF|=(√(2x^2-8x+10)-1)/√(2x^2-8x+16), 换元，设t=2x^2-8x+8=2(x-2)^2, 故t>=0. 于是所求f(t)=(√(t+2)-1)/√(t+8)=√((t+2)/(t+8))-1/√(t+8)=√(1-6/(t+8))-1/√(t+8), 这个式子前面是t的增函数，负号后的是t的减函数，所以f(t)是t的增函数，故最小值在t=0处取，有f(0)=√(1/4)-1/√8=1/2-1/(2√2)=(2-√2)/4, 选(B)
(12) 令t=f(x)-lnx, 则有f(t)=e+1, 但是f(x)=lnx+t, 所以f(t)=lnt+t=e+1, 因为lnt+t是单调增函数，故解得t=e, 所以f(x)=lnx+e. 所以f'(x)=1/x, g(x)=f(x)-f'(x)=lnx-1/x+e, 因为g'(x)=1/x+1/x^2>0(x>0), 故g(x)单调增，又g(1/e)=-1-e+e=-1<0, g(1)=e-1>0, 所以g(x)在定义域上只有一个零点