Question

已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是减函数

已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，且f(-1)=0，解不等式：
① f(x)>0 ②xf(x)>0

并且简述下过程和思考方法，谢谢。

Answer 1

显然f(1)=-f(-1)=0
于是立即可得
x>1 f(x)<0
x=1 f(x)=0
0<x<1 f(x>0
-1<x<0 f(x)<0
x=-1 f(x)=0
x<-1 f(x)>0
由于f(x)在(0,+∞)上是减函数
所以f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)

xf(x)>0
显然xf(x)为偶函数
1.x>0
则要求f(x)>0,此时0<x<1
2.x<0
根据偶函数的对称性可知 -1<x<0

因此解集为(-1,0)∪(0,1)