Question

高等数学题？

三道

Answer 1

1、y=xe^ln(tanx)=xtanx
dy=(tanx+xsec^2x)dx
2、令t=1+√x，则x=(t-1)^2，dx=2(t-1)dt
原式=∫(1,3) (2-t)/t*2(t-1)dt
=2∫(1,3) (3t-t^2-2)/tdt
=2∫(1,3) (3-t-2/t)dt
=(6t-t^2-4ln|t|)|(1,3)
=18-9-4ln3-6+1
=4-4ln3
3、y=(x^4)/4-x^3
y'=x^3-3x^2=0，得驻点x1=0，x2=3
y''=3x^2-6x，得y''(0)=0，y''(3)=9>0
所以x=3是函数的极小值点，y(3)=-27/4是极小值
当x<3时，y单调递减，当x>3时，y单调递增

Answer 2

1. e^(lntanx)=tanx, dy= d(xtanx)' = tanxdx + xdtanx = [tanx +x/(secx)^2]dx

2. 令t=x^(1/2), x=0时，t=0, x=4时，t=2, dx=2tdt， 又

   ∫2(1-t)t/(1+t)dt= 2∫[(2-t) - 2/(t+1)]dt = 4t - t^2 - 4ln(t+1) +C

   所以原定积分＝[4*2-2^2-2ln(2+1)] - [4*0-*0^2-4ln(0+1)] =8-4-2ln3=4-4ln3

3. y'=x^3-3x^2=x^2(x-3),

   当x>3时，y'>0, 函数y=x^4/4-x^3单调递增；x<3 时，y'<0，函数y=x^4/4-x^3单调递减；

   又y"(x)=3x^2-6x=3x(x-2), y"(3)=3*3(3-2)=9>0, 函数y=x^4/4-x^3在x＝3有最小值y(3)=3^4/4-3^3=81/4 - 27= -27/4