Question

将函数f(x)=1/1+2x展开成关于x的幂级数

Answer 1

这是一个类比的方法：
.
1、1
/
(
1
+
x
)
=
1
-
x
+
x²
-
x³
+
x⁴
-
......
这是公比小于
1
的无穷等比数列、等比级数的求和公式；
分子上的
1
是首项；分母上的
1
是公式里的
1；
分母上的
x
是公比
common
ratio。
.
2、1
/
（2
+
x
）是需要展开的题目，分母上的
2
是无法展开的，
也就是说，无法套用上面的公式，提取2之后，分母上
x/2
就
成了公比，就可以运用上面的求和公式；令
|x/2|
<
1，就得到
收敛域跟收敛半径。
.
3、我们的教师、我们的教科书，惜字如金，宁可学生抓耳挠腮，
百思不得其解，也不愿多说一个字，这是我们的学风，我们的
文化，也是我们的传统。

Answer 2

为什么没有人回答呢，太简单了吗？
根据等比数列公式，
1/(1+2x)
=
1/(1-(-2x))
=
1
+
(-2x)
+
(-2x)^2
+
(-2x)^3
+
...
+
(-2x)^(n-1)
+
...
，
这是因为等比数列前n项和是(公比为-2x)：
S(n)
=
[1
-
(-2x)^n]/(1
-
(-2x))
趋于
1/(1+2x)
（当n趋于无穷）。
所以展开式就是
1/(1+2x)
=
Sum
(n从1到无穷)
(-2x)^(n-1)，注意能够展开的条件是公比的绝对值必须小于1，即
|-2x|
<
1，或者
-1/2
<
x
<
1/2。在x的其他数值是没有幂级数展开式的，因为等比数列求前n项和后求出来的极限是无穷大。
Sum就是求和符号。