用等价无穷小量代换求极限
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先化简，利用分子，
分母有理化，
然后用等价无穷小量代换，
就可以求出极限为4/3.
具体解答如图所示
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原式=lim(x->0) [(1/3)*xe^x]*x/[1-√(1+cosx-1)]
=lim(x->0) [(1/3)*x^2]/[-(1/2)*(cosx-1)]
=(2/3)*lim(x->0) (x^2)/[(x^2)/2]
=4/3
=lim(x->0) [(1/3)*x^2]/[-(1/2)*(cosx-1)]
=(2/3)*lim(x->0) (x^2)/[(x^2)/2]
=4/3
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x->0
分子
xe^x =x +o(x)
(1+xe^x)^(1/3) = [ 1+ x+o(x) ] ^(1/3) = 1+ (1/3)x +o(x)
(1+xe^x)^(1/3) -1 =(1/3)x +o(x)
x.[(1+xe^x)^(1/3) -1 ]=(1/3)x^2 +o(x^2)
分母
cosx = 1-(1/2)x^2 +o(x^2)
√cosx = √[1-(1/2)x^2 +o(x^2)] = 1 -(1/4)x^2 +o(x^2)
1-√cosx =(1/4)x^2 +o(x^2)
lim(x->0) x.[ (1+xe^x)^(1/3) -1 ] /[1- √cosx]
=lim(x->0) (1/3)x^2 /[(1/4)x^2]
=4/3
分子
xe^x =x +o(x)
(1+xe^x)^(1/3) = [ 1+ x+o(x) ] ^(1/3) = 1+ (1/3)x +o(x)
(1+xe^x)^(1/3) -1 =(1/3)x +o(x)
x.[(1+xe^x)^(1/3) -1 ]=(1/3)x^2 +o(x^2)
分母
cosx = 1-(1/2)x^2 +o(x^2)
√cosx = √[1-(1/2)x^2 +o(x^2)] = 1 -(1/4)x^2 +o(x^2)
1-√cosx =(1/4)x^2 +o(x^2)
lim(x->0) x.[ (1+xe^x)^(1/3) -1 ] /[1- √cosx]
=lim(x->0) (1/3)x^2 /[(1/4)x^2]
=4/3
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