Question

线代求详细步骤

第五题求矩阵的特征值及特征向量





Answer 1

设特征值为λ，|A-λE|=
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ r2-r1
=
1-λ 2 3
1+λ -1-λ 0
3 3 6-λ c1+c2
=
3-λ 2 3
0 -1-λ 0
6 3 6-λ 按第二行展开
=(λ²-9λ+18-18)(-1-λ)=λ(λ-9)(-1-λ)=0，得到特征值0，9，-1
λ=0时，A=
1 2 3
2 1 3
3 3 6 r2-2r1,r3-3r1
～
1 2 3
0 -3 -3
0 -3 -3 r3-r2,r2/-3,r1-2r2
~
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(-1,-1,1)^T

λ=9时，A-9E=
-8 2 3
2 -8 3
3 3 -3 r3/3,r1+8r3,r2-2r3
~
0 10 -5
0 -10 5
1 1 -1 r2+r1,r1/10,r3-r1，交换行次序
~
1 0 -3/2
0 1 -1/2
0 0 0
得到特征向量(3,1,2)^T
λ=-1时，A+E=
2 2 3
2 2 3
3 3 7 r2-r1,r3-1.5r1
~
2 2 3
0 0 0
0 0 5/2 r3/2.5,r1-r3,r1/2,交换r2r3
~
1 1 0
0 0 1
0 0 0 得到特征向量(-1,1,0)^T