Question

若实数a使得对于每一个实数z关于x,y的方程组x+ay=2z, xy=2z^2+3z+1恒有实数解,求a的取值范围

如上

Answer 1

a=0时合题。a≠0时，设m=ay，则x+m=2z，xm=a（2z²+3z+1）。
韦达定理，（2z）²-4（a（2z²+3z+1））≥0，即
z²-a（2z²+3z+1）≥0恒成立.
1，当2z²+3z+1等于0时，肯定成立，即a取值R。
2，当大于0是，即z＞-1/2且z＜-1时，a≤z²/（2z²+3z+1）恒成立，得a＜0
3，当小于0时，即-1＜z＜-1/2时， a≥z²/（2z²+3z+1）恒成立，得a≥-4.
1，2，3取交集得到-4≤a＜0。又a=0成立。综述，
-4≤a≤0.