Question

设函数f(x)=ax²+bx+1(a,b∈R) （1）若f(-1)=0,且对于任意实数x，f(x)≥0都成立，求f(x)的解析式

Answer 1

（1）∵f(-1)=0,且对于任意实数x，f(x)≥0都成立，
∴x=-1时，有最小值f(-1)=0,即-b/2a=-1,a-b+1=0
∴a=1,b=2.f(x)的解析式:f(x)=x²+2x+1
（2）在（1）的条件下，f(x)=x²+2x+1，函数y=x²+2tx+1的最小点为x0=-t.
当x∈[-2,2]时，若t>0,则x0<0,函数Q(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)=Q(2)=4t+5
若t=0,则x0=0,函数Q(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)=Q(±2)=5
若t<0,则x0>0,函数Q(x)=ax²+btx+1的最大值g(t)=Q(-2)=-4t+5

Answer 2

解：（1）由题意可知，f(x)是二次函数，f(-1)=0可得，a-b+1=0.
f(x)>=0可得，-b/2a=0.
解关于a,b的方程组得，a=1,b=2.所以f(x)=x*2+2x+1.
(2)Q(x)=x*2+2tx+1=(x+t)*2+1-t*2,x=-t是对称轴，
当t>0时，Q（x）最大值为Q(2)=4t+5
;
当t=0时，Q（x）最大值Q（-2）=Q(2)=5；
当t<0时，Q(x)最大值Q（-2）=-4t+5.

Answer 3

（1）因为任意x属于r，不等式发f（x）恒大于等于0
所以当f（x）=
0时，f（x）的图像与x轴只有一个交点。又f（-1）=
0
根与系数的关系
则
-
b/a
=
[（-1）+（-1）]
=
-
2
1/a
=（-1）x（-1）=1
解方程组，得
a
=
1
,b
=
2
（2）原式可化为
f(x)=x^2+2x+1
则g(x)=x^2-(k-2)x+1
因为g(x)在[-2,2]区间单调，所以(k-2)/2<=-2
或者
(k-2)/2>=2
（这个从函数图像比较好理解，主要看该区间[-2,2]在对称轴的左边，还是右边，左右各有一个単调）
则k<=-2
或者
k>=6