如何求不定积分的值
令cosx=u ,-sinxdx=du,dx=-du/sinx
则y=∫√cosxdx=-u^(1/2)du/sinx =-(2/3)ctgx.√cosx+C
扩展资料：
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数
及
的原函数存在，则
2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数
的原函数存在，
非零常数，则
参考资料来源：百度百科-积分
求不定积分的值可以使用以下步骤：
找到积分的被积函数，即需要求积分的函数；
查找被积函数的常见积分公式，如常数函数、幂函数、三角函数等；
对于无法使用常见积分公式的函数，可以考虑使用换元法、分部积分法、有理分式分解等方法进行化简；
化简之后，得到一个简单的积分表达式后，使用积分公式求解即可。
例如，要求不定积分 f(x) = x^2 + 2x + 1 的值，根据幂函数的积分公式，可知：
∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C
其中C为任意常数。这样，我们就求得了不定积分的值。
需要注意的是，在进行不定积分计算的过程中，需要遵循积分运算的基本法则，如积分线性性、积分的可加性、积分与导数的关系等。此外，对于一些复杂的不定积分，可能需要使用更高级的积分技巧，如牛顿-莱布尼茨公式、定积分与不定积分的关系等。
- 例如计算不定积分∫1/(2+ cosx)
计算过程如下：
设t=tan(x/2)
则cosx=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]
=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]
=(1-t²)/(1+t²)
dx=d(2arctant)=2dt/(1+t²)
故：∫1/(2+cosx)dx=∫1/[2+(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]
=∫2dt/(3+t²)
=2/√3∫d(t/√3)/[1+(t/√3)²]
=2/√3arctan(t/√3)+C
- 再例如∫lntanx/(sinxcosx)dx
分子分母同除以cos²x
=∫sec²x*lntanx/tanxdx
=∫lntanx/tanx d(tanx)
=∫lntanxd(lntanx)
=(1/2)ln²(tanx)+C。
- 再例如∫cscxdx
=∫1/sinxdx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx，两倍角公式
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)
=∫1/tan(x/2)d[tan(x/2)]，注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C
=ln|tan(x/2)|+C。
- 不定积分
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
