高中数学几何题求解
见下图。
（1）证明：因为底面ABCD为菱形，AB=AD,连结BD，则因∠DAB=60D,得△ABD是等边三角形。
因为AP⊥PD，得△APD是Rt△；又因为M是AD的中点，所以得；
a、BM⊥AD......(i),且BM=ABsin60D=2√3
b、PM=AM=MD=(1/2)AD=2(Rt△斜边上的中线）;
因为PB=4,△PMB满足:PB^2=PM^2+BM^2=2^2+(2√3)^2=16=4^2;
所以∠PMB=90D,即BM⊥PM.....(ii),由（i）和（ii）确定BM⊥平面APD；
因为PM∈平面PAD和平面BPM，所以平面BPM⊥平面APD。证毕。
（2）解：依题意连结MN，作NE⊥MC于E，连结PE，得：直线PN与平面PMC所成的角∠EMN。sin∠EMN=EN/PN=√6/8.......(iii)
作BF⊥MC于F，得Rt△CEN∽Rt△CFB；所以，CN/CB=EN/FB=CE/CF.....（iV）
因为BC//AD⊥BM，所以△MBC和△MBN是Rt△；
则MC^2=BM^2+BC^2=(2√3)^2+16=28...(v);
BF^2=BC^2-CF^2=BM^2-MF^2=BM^2-(MC-CF)^2=BM^2-MC^2+2MC*CF-CF^2
结合式（v）整理得：CF=BC^2/MC=16/√28=8/√7.....(vi);
BF^2=BC^2-CF^2=4^2-(8/√7)=16-64/7=48/7.....(vii);
因为PD=√(AD^2-PA^2)=2=PM=MD,所以，△PMD是等边三角形；作PG⊥MD于G，连结BG，因为PG^2+BG^2=PB^2,满足勾股定理，所以∠PGB=90D,PG⊥GB;且MG=GD；则PG⊥平面ABCD;连结NG,PG⊥GN；结合式（iii）得：
PN^2=(8/√6EN)^2=PG^2+GN^2=PG^2+BM^2+(BN-MB)^2=3+12+BN^2-2BN+BN^2
=BN^2-2BN+16=(32/3)EN^2=(32/3)[BF*(4-BN)/4]^2=(32/3)(48/7)(16-8BN+BN^2)/16 =(32/7)(16-8BN+BN^2);
(32-7)BN^2-(32*8-14)BN+(32-7)*16=0;即：25BN^2-242BN+400=0
△=(-242)^2-4*25*400=4*4641
BN1,2=(242+/-2√4641)/(2*25)=(121+/-√4641)/25;BN1>4(不合题意，舍去）
BN2=(121-√4641)/25。解毕。
