Question

关于单调有界数列必有极限的问题？

本题第二问，证明极限存在的过程中分别证明了数列｛an｝单调递减和有下界0，但是证明大于0的时候不就说明了数列递增么？那怎么存在单调递减的数列又递增呢？这样不就是震荡了么？请各位热心专业人士解答，谢谢！

Answer 1

这种不单调的情况是存在的。
前几项不单调，从有限项开始单调，就可以使用单调有限准则。
你判断但不单调，粗略看了一下，应该是做差法。
但是判断单调性其实不只这一种方法啊，还有好多种。
数学归纳法，这是一个思路，但是这个思路有个问题，你得把前几项算出来，不然题目不好做，然后还有一个野路子，就是构造一个函数:an+1=f(an)
你看成是y=f（X)
求导，大于0就是单调，小于0就是不一定。
这样的话你做题之前心里就会有个底线。
对于不单调的题你可以选择先把前几项算出来进行说明，也可以先猜后证，直接把极限弄出来，然后使用定义进行证明。

Answer 2

“证明大于0的时候不就说明了数列递增”，这句话没明白你说的意思，如果你数的是an有下界0，所以认为它是递增，这是错误的。因为an的单调性判断比较的是an+1和an的大小。举个例子，bn=1/n,随着n增大，bn减小，这是递减的，但是bn恒大于0.也就是0是下界。这也改变不了bn的单调性，更不会出现你说的震荡情况。

Answer 3

数列的项递减有下界0。所以级数和函数是递增的，本题已证明和函数没有上界，无穷大。

Answer 4

大于0不一定是递增啊，你比如数列an=1/n，显然各项大于0，是从1递减到0