Question

高等数学微分方程

判断正误 说明理由

Answer 1

错在特解了

Answer 2

这是个判断题，所以，是不需要解微分方程来处理问题的，只需要简单判断。
由题目给的，如果那个是特解，那么当C1=0,C2=0时，得一个特解y=e^x
将这个特解代入原微分方程，显然不满足。
所以：题目给的这个不是通解

Answer 3

答案是A。
根据线性方程的叠加原理，原非齐次线性方程的特解是y''+y=x^2+1的特解与y''+y=sinx的特解之和。
因为0不是特征方程的根，所以y''+y=x^2+1的特解设为ax^2+bx+c。
因为±i是特征方程的单根，所以y''+y=sinx的特解设为x(Acosx+Bsinx)。
所以，原非齐次线性方程的特解设为ax^2+bx+c+x(Acosx+Bsinx)。

追问

什么叫答案是a 我没有写选项啊

Answer 4

对通解y=c₁sinx+c₂cosx+e^x取二阶导数y''；并将y''与y的表达式代入原方程，看左右时否
相等，如果相等，就是通解；如果不相等，就不是。
y'=c₁cosx-c₂sinx+e^x;
y''=-c₁sinx-c₂cosx+e^x
代入原方程：左边=y''+y=(-c₁sinx-c₂cosx+e^x)+(c₁sinx+c₂cosx+e^x)=2e^x≠右边=e^x;
因此这不是原方程的通解。
通解应该是：y=c₁sinx+c₂cosx+(1/2)e^x.

Answer 5

前面的部分是正确的，但是最后那个特解e^x不正确。因为将y=e^x代入原方程后，等号左边为2e^x，不等于右边。
设正确的特解为y=Ae^x，代入后
Ae^x+Ae^x=e^x, 求得A=1/2
因此正确的通解为：
y=C1sinx+C2cosx+1/2 e^x
以上，请采纳。