Question

求解答常微分方程的定理的问题

定理：n阶齐次线性方程的解x1（t），x2（t），.......，xn（t）在区间a≤t≤b上线性无关，则朗斯基行列式在这个区间的任何点上都不等于0这个定理的 逆否命题：若朗斯基行列式在区间上恒等于0，则推出n个解线性相关。但是书上之前给出反例，说朗斯基行列式为0，方程的n个解是线性无关的。我的问题是为什么定理的逆否命题和反例矛盾呢？图片是书上的反例

Answer 1

我所知道的定理是若函数组x1(t)、x2(t)、...、xn(t)在区间I上线性相关，则朗斯基行列式W(t)=0(这可以运用线性代数中求齐次线性方程组有非零解的理论证明)，这是必要条件，即函数租线性相关时，其朗斯基行列式一定为零，但不是充分条件。书上面的反例可以说明，虽然两个函数的朗斯基行列式为零，但两个函数线性无关。然而当函数租x1(t)、x2(t)、...、xn(t)是n阶齐次线性常微分方程的n个解时，结论的反面才是成立的。因为，题主需要验证书上所举反例的函数组是否为齐次线性常微分方程的两个解。