求极限题,没有一点思路,过程求详细
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令t=1/n
则原式=lim(t->0) {tan[∫(0,π)(sinx)^tdx]+sin[∫(0,π)(sinx)^tdx]}/t^3
根据积分中值定理,对任意t,存在p∈(0,π),使得∫(0,π)(sinx)^tdx=π*(sinp)^t
原式=lim(t->0) {tan[π*(sinp)^t]+sin[π*(sinp)^t]}/t^3
=lim(t->0) {tan[π*(sinp)^t-π]-sin[π*(sinp)^t-π]}/t^3
=lim(t->0) tan[π*(sinp)^t-π]*{1-cos[π*(sinp)^t-π]}/t^3
=lim(t->0) {[π*(sinp)^t-π]*(1/2)*[π*(sinp)^t-π]^2}/t^3
=(1/2)*π^3*lim(t->0) {[(sinp)^t-1]^3}/t^3
=(1/2)*π^3*lim(t->0) {[t*ln(sinp)]^3}/t^3
=(1/2)*π^3*[ln(sinp)]^3
因为p的取值与t有关,所以极限值不确定,即原极限不存在
则原式=lim(t->0) {tan[∫(0,π)(sinx)^tdx]+sin[∫(0,π)(sinx)^tdx]}/t^3
根据积分中值定理,对任意t,存在p∈(0,π),使得∫(0,π)(sinx)^tdx=π*(sinp)^t
原式=lim(t->0) {tan[π*(sinp)^t]+sin[π*(sinp)^t]}/t^3
=lim(t->0) {tan[π*(sinp)^t-π]-sin[π*(sinp)^t-π]}/t^3
=lim(t->0) tan[π*(sinp)^t-π]*{1-cos[π*(sinp)^t-π]}/t^3
=lim(t->0) {[π*(sinp)^t-π]*(1/2)*[π*(sinp)^t-π]^2}/t^3
=(1/2)*π^3*lim(t->0) {[(sinp)^t-1]^3}/t^3
=(1/2)*π^3*lim(t->0) {[t*ln(sinp)]^3}/t^3
=(1/2)*π^3*[ln(sinp)]^3
因为p的取值与t有关,所以极限值不确定,即原极限不存在
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