Question

用积分法求图所示梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角，各梁EI均为常数

Answer 1

左端为原点，x沿梁轴线向右，y轴向上为正，转角逆时针为正。

设梁曲线方程y=f(x),转角≈y',（近似公式tanα≈α）
取dx长微段，M(x)=qLx/2-qx²/2,
微段的转角增量=y''dx=M(x)/EI=(qLx/2-qx²/2)dx/EI
积分：y'=(qLx²/4-qx³/6)/EI+C，x=L/2时，y'=0
0=(qL³/16-qL³/48）/EI+C
C=(-qL³/16+qL³/48）/EI
=-qL³/24EI
y'=(qLx²/4-qx³/6)/EI-qL³/24EI
y=(qLx³/12-qx^4/24-qL³x/24)/EI+D
x=0，y=0
D=0
y=(qLx³/12-qx^4/24-qL³x/24)/EI
x=L/2,y最大：
ymax=y=(qL^4/96-qL^4/384-qL^4/48)/EI
=-5qL³/384EI
x=0,L时，梁转角最大：
y'=(qLx²/4-qx³/6)/EI-qL³/24EI
x=0，转角-qL³/24EI
x=L，转角=qL³/24EI