Question

3当x0时,函数 f(x)=(1-cosx^2)([3](1+x^2)-1) 的等价无穷小为？

Answer 1

首先，求出函数 f(x) 在 x = 0 处的极限，即：
lim_(x→0) f(x)
= lim_(x→0) (1-cos(x^2)) (3-1)
= (1-cos(0^2)) (3-1) // 这里用到了 cos(x) 在 x = 0 处的极限为 1
= 2
然后，将函数 f(x) 化简：
f(x)
= (1-cosx^2) (3-1)
= sinx^2 (3-1) // 这里用到了 1-cos(x^2) = sin(x^2)
由于当 x → 0 时，sinx^2 与 x^2 同阶，所以有：
f(x) ~ x^2 (3-1)
= x^2 ([3]x^2)
= 3x^4 (其中 [3] 表示取整函数，即取比其大的最小整数)
因此，当 x0时，函数 f(x) 的等价无穷小为 3x^4。