Question

设f(x)有二阶连续导数，且f^' (0)=0，(lim)┬(x→0) (f^'' (x))/|x| =1，则？

Answer 1

f ′ (a)=0,f ′′ (a)≠0 只是f(x) 在x=a 处取极值的充分条件,非必要条件.
比如f(x)=x^4 ,有f ′ (0)=f ′′ (0)=0 但在 x=0 处显然是取极小值.
就这题而言：
因lim(x→0) f ′′ (x) / |x| =1 ,由局部保号性有,
存在一去心邻域U° (0,δ) ,使得对在这个去心邻域内有 f ′′ (x) / |x| > 1 / 2
所以有f ′′ (x)> |x| / 2 >0 ,而由连续性有f ′′ (0)=0
去是,在邻域U°(0,δ) 内有f ′′ (x)≥0 ,且只x=0 处f ′′ (x)=0
于是f ′′ (x) 在邻域U°(0,δ) 内严格单增
于是在该邻域内有xf ′ (0)=0 ,
导数是由负变正,所以取极小值.