Question

初二几何（全等三角形）

如图，已知在三角形ABC中，角A、B的平分线交于点O，过O作OP垂直P，OQ垂直AC于Q，OR垂直AB于R，AB=7,BC=8,AC=9。
1.已经求得CQ=5,,BP=3,AR=4.
2,若CD垂直BO于D,求证：角OCD=1/2角A,
3.若BO的延长线叫AC于E，CO的延长线交AB于F,若角A=60°，求证：OE=OF

Answer 1

证明∠OCD=1/2∠BAC：
∠OCD=∠OCA+∠DCA。显然O是△ABC的内心，所以CO平分∠ACB，故∠OCA=1/2∠BCA
所以，∠OCD=∠OCA+∠DCA=1/2∠BCA+(90°-1/2∠ABC-∠BCA)=90°-1/2∠ABC-1/2∠BCA=1/2*(180°-∠ABC-∠BCA)=1/2∠BAC
即∠OCD=1/2∠BAC 证毕

证明OE=OF：
因为∠BAC=60°，所以∠OCD=1/2∠BAC=1/2*60°=30°，∠DOC=90°-30°=60°。∠DOC=BAC。得AFOE四点共圆，于是有∠RFO=∠QEO
又∠FRO=∠EQO=90°，OR=OQ=三角形内接圆半径，所以Rt△ORF≌Rt△OQE
故OE=OF 证毕