Question

高数求初值问题，求解

第五题，求解

Answer 1

直接用n阶齐次常系数微分方程的通解来计算
r^4+2r^2+1=0
解得
r=i（二重）或-i（二重）
所以
x=C1*cost+C2*sint+C3*t*cost+C4*t*sint
其中C1，C2，C3，C4均为常数
此时
x(t)=C1*cost+C2*sint+C3*t*cost+C4*t*sint
x'(t)=(-C1+C4)*sint+(C2+C3)*cost-C3*t*sint+C4*t*cost
x''(t)=(-C1+2*C4)*cost+(-C2-2*C3)*sint-C3*t*cost-C4*t*sint
x'''(t)=(C1-3*C4)*sint+(-C2-3*C3)*cost+C3*t*sint-C4*t*cost
因为
x(0)=1，x'(0)=x''(0)=x'''(0)=0
所以
C1=1
C2+C3=-C1+2*C4=-C2-3*C3=0
即
C1=1，C2=0，C3=0，C4=1/2
所以
x(t)=cost+1/2*t*sint

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