Question

求极限 lim(cosx+sinx)^1/x

x趋于0
表示我还没学过罗比达法则

Answer 1

楼上两位的解答不能算错，但是不妥！

对于一个初学者，要他们先莫名其妙的死背一大堆来历不明的等价无穷小代

换，这是我们教学的严重系统误区，走火入魔、匪夷所思！！使得很多很多学

生原本踌躇满志的学生，结果觉得学微积分居然是死记硬背，味同嚼蜡。

这些都是教师、教授、专家作的孽！罪不可恕！

用等价无穷小代换虽然是一种方法，但是并不值得大力提倡，尤其对初学者来

说，大力提倡等价无穷小，其实这是在扼杀他们的悟性，窒息他们求知热情。

只是解题人的一种自我炫耀而已！！丝毫没有考虑教育心理学与教学法！！

本题，只要根据基本极限中e的极限，就可以推算出结果。

楼上的专家明显在误导，极限最重要的是两个，本题正好是这两个的综合灵活运用，

可是所谓的专家，却把可怜的初学的学生引导到等价无穷小代换，舍本而逐末。歧途也！

点击放大，再点击再放大。

Answer 2

一下都省略极限过程x→0

设 A = lim(cosx+sinx)^1/x,则
lnA = lim ln(cosx+sinx)/x
= lim [ln(cosx+sinx)]'/x'【L'Hospital法则】
= lim (cosx+sinx)'/(cosx+sinx)
= lim (-sinx+cosx)/(cosx+sinx)
= lim (0+1)/(1+0)
= 1
于是A = e .

没有学过罗比达法则就要用等价无穷小代换了。
lnA = lim ln(cosx+sinx)/x
= lim 1/2·ln(cosx+sinx)²/x
= lim 1/2·ln(1+2sinx·cosx)/x
= lim 1/2·ln(1+sin2x)/x
= lim 1/2·2x/x【ln(1+sin2x)~sin2x~2x】
= 1
于是A = e .

PS:楼上做法思路直接，处理cosx的时候略显粗糙，可以只使用一次等价无穷小代换的。

Answer 3

详解见图片

学过罗比达法则看左边

没学过看右边~~

Answer 4

楼上的太复杂化了，很不便。解题的方法是化复杂为简。我的大学数学系教授教我们直接给我们总结公式，然后部分公式证明推导给我们看，后就出例题讲解，最后就叫我们记公式运用它，老师教我们直接用代入法求极限。求极限用代入法先去判断型。这道题很简单，是初等函数直接代。比如有：0/0型（用2种求解：因式分解或根式有理化）；∞/∞；∞-∞；0*∞；1的∞次方（重要极限）；等价替换(如：sinx～x)。

这里要用到公式：a^1/x=(√a)^x; 变化后直接把值x→0代入计算。(解题公式sin0=0;cos0=1;√1=1）

lim(cosx+sinx)^1/x=lim(√cosx+sinx)^x=1^0=1