Question

数学的不等式需要化简吗？

Answer 1

1、关于不等式：（“等价于”记为“<=>”）xy/2≤1/4（x^2+y^2） 乘以4<=>2xy≤x^2+y^2加2xy<=>4xy≤x^2+y^2+2xy=(x+y)^2除以8<=>xy/2≤(x+y)^2/8=>xy/2≤1/4（x^2+y^2） <=> xy/2<=(x+y)^2/8 (以上三步等价变换只用到了加法和改变正系数，所以衡成立)2、关于本问题的回答一楼肯定是正确的（三级的那个）二楼不完全正确（十八级）：分析如下：若正确不等式为xy/2<=1/4*(x+y)^2则等式成立条件为xy/2=(x+y)^2/4<=>2xy=(x+y)^2<=>x^2+y^2=0=>x=y=0这个结论肯定是错的而如果从不等式论证的方法来看二楼的做法其实就有点接近于将2√ab<=a+b这一基本不等式两边直接作平方处理对于非负数的等式论证平方法并不像加法，乘以正数等是完全的等价变换方法而是放缩法中的一种就好比2<3,2^2<3^2也就是说平方法的结果，很可能会导致原不等式中等号的情况消失而得到有“远大于”感觉的结果3、关于那一道几何题目首先两者答案一样所以如果我验算没错的话应该都是对的后者的解法（贴图的）更为普通我比较至少在考试中有计算错误但明了的步序仍然可以拿分前者的解法中第一步就是“当AP=DP取最大值”这一步在纯代数中很险建议谨慎因为不等式中等号成立的条件比如2根号xy<x+y不仅仅是x=y等等好需要保证x=y时右侧x+y为一定值，或一个可求出定值的函数式，而不是个无定值函数式而在这道几何题中由于几何关系代表了许多的限定区间（定义域）及等式关系所以当AP=DP时右侧的1/4*（AD∧2+DP∧2）肯定能通过等式关系球得出定值故这道几何题目中可以使用此法 其实类似的若已知x+y=求根号xy 最值也是个几何问题