Question

已知函数f(x)=-2asin(2x+ π/6)+2a+b，x∈[π/4，3π/4】,是否存在常数a,b∈Q,使得f(x)的值域为

Answer 1

π/4<x<3π/4
2π/3<2x+
π/6<5π/3
当2x+
π/6=2π/3，即x=π/4时，sin(2x+
π/6)取得最大值√3
/2
当2x+
π/6=3π/2,即x=2π/3时，sin(2x+
π/6)取得最小值-1
当a>0时，f(π/4)=-2a(√3
/2)+2a+b=-3
f(2π/3)=-2a(-1)+2a+b=√3-1
两式联立解得：a=1满足a>0,b=√3-5
非有理数，故舍去
当a<0时，f(π/4)=-2a(√3
/2)+2a+b=√3-1
f(2π/3)=-2a(-1)+2a+b=-3
两式联立解得：a=-1满足a<0,b=1
综上，a=-1,b=1

Answer 2

π/4<x<3π/4
2π/3<2x+
π/6<5π/3
当2x+
π/6=2π/3，即x=π/4时，sin(2x+
π/6)取得最大值√3
/2
当2x+
π/6=3π/2,即x=2π/3时，sin(2x+
π/6)取得最小值-1
当a>0时，f(π/4)=-2a(√3
/2)+2a+b=-3
f(2π/3)=-2a(-1)+2a+b=√3-1
两式联立解得：a=1满足a>0,b=√3-5
非
有理数
，故舍去
当a<0时，f(π/4)=-2a(√3
/2)+2a+b=√3-1
f(2π/3)=-2a(-1)+2a+b=-3
两式联立解得：a=-1满足a<0,b=1
综上，a=-1,b=1