Question

x^(1/x) x趋于正无穷大时的极限

Answer 1

最简单的想法是用罗比达法则：
方法是y=x^(1/x)的两边取自然对数函数ln得：
lny=lnx/x
用罗比达法则：
lim(x->∞)lnx/x=lim(x->∞)1/x=0
所以lny->0,所以y->1
也就是所求函数极限是1
夹逼定理也可以做，n^(1/(n+1))<=x^(1/x)<=(n+1)^(1/n)，其中n=[x]
分别证左右两边的极限都是1.以右边为例，思路是：
设y(n)=(n+1)^(1/n)-1
(1+y(n))^n=n+1
左边用二项式展开，适当放缩证明{y(n)}是个无穷小量就可以了，
注意这里定义的y(n)>=0对任意n成立，否则不能证明结论成立
这个方法需要一定的技巧，特别是展开后的如何放缩，有点麻烦

Answer 2

这个没法用夹逼定理。只能用洛比达法则：
设
y＝x^(1/x)
，两边取对数，有
lny＝(1/x)·lnx＝
(lnx)
/
x
先求
lny
的极限，当x→＋∞时，
(lnx)
/
x
是
∞
/
∞
型，满足洛比达法则的要求，
因此用洛比达法则，分子分母分别求导，lim
lny＝(1/x)
/1
＝1/x
＝0
那么原极限＝exp(lny)＝exp(0)＝1
（其中
exp(x)的含义是e的x次方）