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crs0723
2020-05-06 · TA获得超过2.5万个赞
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令t=x/2,则x=2t,dx=2dt

原式=∫(0,+∞) [ln(2t)/(4t^2+4)]*2dt
=(1/2)*∫(0,+∞) (lnt+ln2)/(t^2+1)dt
=(1/2)*∫(0,+∞) lnt/(t^2+1)dt+(1/2)*∫(0,+∞) ln2/(t^2+1)dt
=(1/2)*∫(0,1) lnt/(t^2+1)dt+(1/2)*∫(1,+∞) lnt/(t^2+1)dt+(ln2/2)*arctant|(0,+∞)
令第二项的t=1/u,则dt=-du/u^2
原式=(1/2)*∫(0,1) lnt/(t^2+1)dt+(1/2)*∫(1,0) (-lnu)/(u^2+1)(-du)+(ln2/4)*π
=(1/2)*∫(0,1) lnt/(t^2+1)dt-(1/2)*∫(0,1) lnu/(u^2+1)du+(ln2/4)*π
=(ln2/4)*π
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