Question

已知函数f(x)=ax³+bx²-3x(a,b∈R),在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.(1

Answer 1

解：有题得
f(1)
=
a+b-3
f(x)'=
3ax^2
+
2bx
-
3
所以在点(1,f(1))处的切线方程为
y
-
f(1)
=
f(1)'*(x
-
1)
因题中已给出方程
y
+
2
=
0
所以
f(1)'
=
3a
+
2b
-
3
=
0
-f(1)
=
2
=
-
a
-
b
+
3
解得
a
=
1,
b
=
0
所以函数的解析式是
f(x)
=
x^3
-
3x
f(x)'
=
3x^2
-
3
=
0
解得x
=
1或是
-1
得到
f(-1)
=
2
,
f(1)
=
-2
有因为
f(-2)
=
-2
,
f(2)
=
2
所以f(x)在[-2,2]内f(x1)与f(x2)最大的差值为4
所以c的最小值为
4
f(x)上任一点（x.
,
y.）的切线方程为
y
-
y.
=
f(x.)'(x
-
x.)
即
y
-
x.^3
+
3x.
=
(3x.^2
-
3)*(x
-
x.)
若直线过点M
则
m
-
x.^3
+
3x.
=
(3x.^2
-
3)*(2
-
x.)
化简的
2x.^3
-
6x.^2
+
6
+
m
=
0
若上面方程有三个解，
则符合条件的m即为所求
令
F(x)
=
2x^3
-
6x^2
+
6
+
m
（这样我们只要用过求导，得到其一个最值是大于0，一个最值小与0，就可以确定图像和X轴有三个交点。）
则
F(x)'
=
6x^2
-
12x
解得
x
=
0
或
2
由上可知
F(0)
=
6+m
F(2)
=
2+m
所以
-6
<
m
<
-2

Answer 2

1.f(1)=-2
f'(1)=0
f(x)=a+b-3=-2
a+b=1

f'(x)=3ax²+2bx-3
f'(1)=3a+2b-3=0
3a+2b=3
所以
a=1
b=0
f(x)=x³-3x

2.
当f(x1)在区间[-2,2]上最大，f(x2)在区间[-2,2]最小的时候，｜f（x1）-f（x2）｜最大
那么c的最小值就是此绝对值的最大值.
f(-2)=-8+6=-2
f(2)=8-6=2
f'(x)=3x²-3
；令f'(x)=0
x²-1=0
x=1
或
-1
f(1)=-2
f(-1)=2
那么f(x)在[-2,2]内，最大值是2，最小值是-2
c的最小值=2-(-2)=4

3.
可以做三条切线的范围就是做一条平行线，跟函数相交3个点的范围，
由此可知m∈[-2,2]